Question

已知曲線(xiàn)C₁：y=x²+4和C₂：y=2x-x²，直線(xiàn)l₁與C₁、C₂分別相切于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)l₂（不同于l₁）與C₁、C₂分別相切于點(diǎn)C、D，則AB與CD交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________．

Answer 1

分析：拋物線(xiàn)C₁的方程是y=x²+4，和C₂：y=2x-x²，由題意知曲線(xiàn)C₂與C₁關(guān)于AB與CD交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得AB與CD交點(diǎn)即為兩拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心．求出拋物線(xiàn)C₁和拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出它們連線(xiàn)段的中點(diǎn)即可得出正確答案．
解答：解：∵C₁：y=x²+4和C₂：y=2x-x²，分別由拋物線(xiàn)y=x²經(jīng)過(guò)平移或?qū)ΨQ(chēng)變換而得，它們是全等的圖形，從而具有對(duì)稱(chēng)中心，又直線(xiàn)l₁與l₂分別是它們的公切線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，直線(xiàn)l₁與l₂也關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，從而曲線(xiàn)C₂與C₁關(guān)于AB與CD交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，AB與CD交點(diǎn)即為兩拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心．如圖．
由于拋物線(xiàn)C₁和拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（0，4），N（1，1），
線(xiàn)段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x==．即兩拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為．
故答數(shù)為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線(xiàn)方程，考查曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．