Question

對于函數(shù)f（x）及其定義域內(nèi)的一個區(qū)間[m，n]（m＜n），若f（x）在[m，n]內(nèi)的值域為[m，n]，則稱[m，n]為f（x）的“保值區(qū)間”．
（1）求函數(shù)y=-x+6的一個“保值區(qū)間”；
（2）若函數(shù)y=（1+a）-

a2

x

的“保值區(qū)間”是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）函數(shù)f（x）=ax²-2x的“保值區(qū)間”能否是[-1，2]？若能，求出a的一個值；若不能，說明理由；
（4）寫出函數(shù)f（x）=x²-2x的一個“保值區(qū)間”；判斷是否還有其它的“保值區(qū)間”（不必證明）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）對于R上的減函數(shù)y=-x+6，當x∈[0，6]時，y=-x+6∈[0，6]，可得求函數(shù)y=-x+6的一個“保值區(qū)間”；
（2）依題意，m，n是方程x²-（1+a）x+a²=0的兩個實數(shù)根，結(jié)合韋達定理，可求得，（n-m）_max=

2 3

3

；
（3）通過對a=0、a＞0、a＜0的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可知不存在a使得函數(shù)f（x）=ax²-2x的“保值區(qū)間”是[-1，2]；
（4）依題意，當x∈[-1，3]時，f（x）=x²-2x∈[-1，3]，即“保值區(qū)間”為[-1，3]，除此之外，沒有其它的“保值區(qū)間”．

解答： 解：對于（1），由于y=-x+6為減函數(shù)，
當x∈[0，6]時，y=-x+6∈[0，6]，故區(qū)間[0，6]為函數(shù)y=-x+6的一個“保值區(qū)間”；
對于（2），由于函數(shù)y=f（x）=（1+a）-

a2

x

為（-∞，0）或（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，且其“保值區(qū)間”是[m，n]，
所以，

f(m)=m f(n)=n

，即（1+a）-

a2

m

=m，且（1+a）-

a2

n

=n，
所以，m，n是方程x²-（1+a）x+a²=0的兩個實數(shù)根，于是△=（1+a）²-4a²=-3a²+2a+1＞0，解得-

1

3

＜a＜1；
且m+n=1+a，mn=a²，又m＜n，
故n-m=

(n+m)2-4mn

=

(1+a)2-4a2

=

-3(a- 1 3 )2+ 4 3

，
顯然，當a=

1

3

時，（n-m）_max=

2 3

3

；
對于（3），由于f（x）=ax²-2x，
當a=0時，f（x）=-2x，假設其“保值區(qū)間”是[-1，2]，由f（x）=-2x為減函數(shù)得，

f(-1)=2 f(2)=-4≠-1

，故a=0時不成立；
當a＞0時，f（x）=ax²-2x的對稱軸為x=

1

a

＞0，
若

1

a

≥2，y=f（x）在[-1，2]為減函數(shù)，

f(-1)=a+2=2 f(2)=4a-4=-1

，解得a∈∅；
若

1

a

∈（0，2]，則f（

1

a

）=-1，且（f（-1），f（2））_max=2，解得：a=1，但f（-1）=3，f（2）=0，不滿足題意；
由上面的分析可知，a＞0時，與題意不符；
當a＜0時，f（x）=ax²-2x的對稱軸為x=

1

a

＜0，
若

1

a

≤-1，y=f（x）在[-1，2]為減函數(shù)，同理可得，a∈∅；
若

1

a

∈[-1，0]，則f（

1

a

）=2，解得：a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x²-2x，又f（-1）=

3

2

，f（2）=-6，不滿足題意；
故a＜0時，也不符合題意；
綜上所述，不存在a使得函數(shù)f（x）=ax²-2x的“保值區(qū)間”是[-1，2]．
對于（4），由于f（x）=x²-2x的對稱軸為x=1，且f（1）=-1，f（-1）=f（3）=3，
所以f（x）=x²-2x的一個“保值區(qū)間”為[-1，3]，除此之外，沒有其它的“保值區(qū)間”．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性與閉區(qū)間上的最值，理解新定義“保值區(qū)間”解決問題的是關鍵，考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、運算能力，屬于難題．