Question

5．已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁'（x），…，f_n+1（x）=f_n'（x），…，則${f_1}（\frac{π}{3}）+{f_2}（\frac{π}{3}）+{f_3}（\frac{π}{3}）+…+{f_{2017}}（\frac{π}{3}）$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標號的周期性為4，每四項的和0，然后利用函數(shù)的周期性進行求解即可．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），
即函數(shù)f_n+1（x）是周期為4的周期函數(shù)，
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴${f_1}（\frac{π}{3}）+{f_2}（\frac{π}{3}）+{f_3}（\frac{π}{3}）+…+{f_{2017}}（\frac{π}{3}）$=f₂₀₁₇（$\frac{π}{3}$）=f₁（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運用，熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性是解決本題的關(guān)鍵．