Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AD=2PA，E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）求直線CE與直線PD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明EF∥平面PAD，我們可以證明EF與平面PAD中的直線AD平行，根據(jù)E、F分別是PB、PC的中點(diǎn)，利用中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）連接BD，取BD中點(diǎn)G，連接EG，CG，EC，根據(jù)已知中四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AD=2PA，利用中位線定理，我們可以求出EG，CG，CE的長(zhǎng)，解三角形即可得到直線CE與直線PD所成角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）連接BD，取BD中點(diǎn)G，連接EG，CG，EC，
則設(shè)AB=AD=2PA=2
EG=PD=，
CG=，CE=
∴cos∠CEG=，
∴直線CE與直線PD所成角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，求兩條異面直線的夾角時(shí)，我們可以使用平移法，將兩條異面直線平移到同一三角形中，然后解三角形即可求出答案．