Question

（2013•涼山州二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²：
②若直線y=kx+b上海一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)每一點(diǎn)，實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線C；y=1nx-x（x＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡足曲線C'，M是曲線C上任意一點(diǎn)，N是曲線C'上任意一點(diǎn)，則|MN|的最小值為

2

(1+ln2)．
以上正確命題的序號(hào)是

①③④

 （寫出全部正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：題目給出的點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'（y，x），對(duì)應(yīng)在曲線上是指的曲線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線，利用求曲線關(guān)于對(duì)稱曲線的方程的步驟，求出四個(gè)選項(xiàng)中給出的曲線關(guān)于y=x的對(duì)稱曲線的方程，然后對(duì)命題加以判斷，特別是對(duì)命題④的判斷，需要構(gòu)造輔助函數(shù)，說明曲線恒在直線y=x的下方，然后求出曲線y=1nx-x（x＞0）上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，進(jìn)一步得到兩對(duì)稱曲線上的點(diǎn)的距離的最小值再進(jìn)行判斷．

解答：解：由題意點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'（y，x），對(duì)應(yīng)曲線來說，就是求曲線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線．
對(duì)于①，因?yàn)閳Ax²+y²=r²（r≠0）的圓心在直線y=x上，所以圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²．所以①正確；
對(duì)于②，直線y=kx+b關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線方程為y=

1

k

x-

b

k

，而直線y=kx+b上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b，所以

k= 1 k - b k =b

，解得

k=1 b=0

，或

k=-1 b∈R

．所以②不正確；
對(duì)于③，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上每一點(diǎn)，實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為

y2

a2

+

x2

b2

=1，所以軌跡仍是離心率不變的橢圓．所有③正確；
對(duì)于④，令g（x）=x-（lnx-x）=2x-lnx（x＞0）．
g′(x)=2-

1

x

=

2x-1

x

．
當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時(shí)，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
所以g（x）在（0，+∞）上有極小值，也是最小值．
最小值為g(

1

2

)=1+ln2．所以曲線y=1nx-x（x＞0）上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值為

2

2

(1+ln2)．
由對(duì)稱性可知，曲線y=1nx-x（x＞0）上的點(diǎn)與其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線上的點(diǎn)的最小值為2×

2

2

(1+ln2)
即為

2

(1+ln2)．所以④正確．
所以正確命題的序號(hào)是①③④．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假的判斷，是新定義題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是理解題目意思，把問題轉(zhuǎn)化為曲線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線的關(guān)系問題，是中檔題．