Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn).

（1）證明AD⊥D₁F；

（2）求AE與D₁F所成的角；

（3）證明平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

解析：（1）欲證線線垂直，先證線面垂直.由于易得AD⊥面D₁DCC₁，又D₁F在平面上，所以AD⊥D₁F.（2）求異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為求共面直線所成的角，方法是在其中一條直線所在平面內(nèi)作另一條直線的平行線后求它們所成的角.（3）欲證面面垂直，先證線面垂直.設(shè)法證明AE垂直于平面A₁FD₁，這又要轉(zhuǎn)化為證線線垂直，即證明AE與平面A₁FD₁內(nèi)兩條相交直線A₁D₁、D₁F分別垂直即中，這利用第（2）題的結(jié)論不難證明.

（1）證明：由正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，可得AD⊥面D₁DCC₁.

∵D₁F面D₁DCC₁，∴AD⊥D₁F.

（2）解：如右圖，取AB的中點(diǎn)G，則易證得A₁G∥D₁F.

    又正方形A₁ABB₁中，E、G分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，

∴A₁G⊥AE.∴D₁F⊥AE.

∴AE與D₁F所成的角為90°.

（3）證明：由正方體可知A₁D₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁D₁⊥AE.

    又由（2）已證D₁F⊥AE.

∵A₁D₁∩D₁F=D₁,∴AE⊥平面A₁FD₁.

    又AE平面AED，∴平面AED⊥平面A₁FD₁.