Question

16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)M滿足$|\overrightarrow{AM}|=1$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，則$|\overrightarrow{PM}|$的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，由題設(shè)條件，結(jié)合向量的性質(zhì)，推導(dǎo)出|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，再由|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，能求出|$\overrightarrow{PM}$|的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$中，a=6，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{36-27}$=3，
∵$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，∴$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{AM}$，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-|$\overrightarrow{AM}$|²
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，∴|$\overrightarrow{AM}$|²=1，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓，
∵|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，
結(jié)合圖形知，當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，
|$\overrightarrow{AP}$|取最小值a-c=6-3=3，
∴|$\overrightarrow{PM}$|最小值是$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓上的線段長(zhǎng)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握橢圓的性質(zhì)，是中檔題．