Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：GC⊥平面PEF；
（2）求證：PA∥平面EFG；
（3）求三棱錐P-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，所以GC⊥PD．因?yàn)镚C⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD．
（2）因?yàn)镋F∥CD且EF∥GH所以E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．又因?yàn)镕，H分別為DP，DA的中點(diǎn)所以PA∥FH因?yàn)镻A?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，所以PA∥平面EFG．
（3）先求出底面的面積S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

，由題意得GC=

1

2

BC=1所以三棱錐的體積為VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

6

．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
（2）證明：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴GH∥CD．
∴EF∥GH．
∴E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．
∵F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，
∴PA∥FH．
∵PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（3）解：∵PF=

1

2

PD=1，EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直關(guān)鍵是證明直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直；證明線面平行關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)一條直線平行即可；求三棱錐的體積時(shí)有時(shí)需要換一個(gè)底面積與高都好求的頂點(diǎn)，在利用體積公式求出體積即可．