Question

如圖，多面體ABCDEF中，BA，BC，BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若點(diǎn)G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求直線DE與平面ADF所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）分別取AB，AF的中點(diǎn)M，H，連結(jié)MF，GH，DH，由已知條件能推導(dǎo)出四邊形CDHG是平行四邊形，由此能證明CG∥平面ADF．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，分別以BC，BE，BA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量法能求出直線CG與平面ADF所成的角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）分別取AB，AF的中點(diǎn)M，H，連結(jié)MF，GH，DH，
則有AG=GM，MF

∥ .

.

BE．
∵AH=HF，
∴GH

∥ .

.

1

2

MF…（2分）
又∵CD

∥ .

.

1

2

BE，BE

∥ .

.

MF
∴CD

∥ .

.

GH
∴四邊形CDHG是平行四邊形
∴CG∥DH…（4分）
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF…（6分）
（Ⅱ）如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BC，BE，BA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
∵AB=BE=2，BC=CD=EF=1，
∴A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），
E（0，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
∴

DE

=(-1，1，0)，

DA

=(-1，-1，2)，

FA

=(0，-2，1)…（7分）
設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，
則有

n • DA =-x-y+2z=0 n • FA =-2y+z=0

，化簡(jiǎn)，得

x=3y z=2y

令y=1，得

n

=(3，1，2)…（10分）
設(shè)直線CG與平面ADF所成的角為θ，
則有sinθ=|

n • DE

| n |•| DE |

|=

7

7

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．