已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，橢圓C上任意一點到右焦點F距離的最大值為2+
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點D（0，-2）作直線l與曲線C交于A，B兩點，點N滿足
ON
=
OA
+
OB
（O為坐標原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時的直線l的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（I）根據題意建立關于a、b、c的方程組，解之可得a=2且b=1，從而得到該橢圓的標準方程；
（II）確定四邊形OANB為平行四邊形，則SOANB=2S△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．
解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，則b=1；
橢圓C上任意一點到右焦點F距離的最大值為2+
3
，則a+c=2+
3
，
∴a=2，c=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）因為
ON
=
OA
+
OB
，所以四邊形OANB為平行四邊形，
當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，由
y=kx-2
x2
4
+y2=1
得（1+4k2）x2-16kx+12=0…（6分）
由△=162k2-48（1+4k2）＞0，得k2＞
3
4
∴x1+x2=
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2
…（8分）∵S△OAB=
1
2
|OD||x1-x2|=|x1-x2|，∴S平行四邊形OANB=2S△OAB=2|x1-x2|=2
(x1+x2)2-4x1x2
=2
(
16k
1+4k2
)2-4
12
1+4k2
=2
162k2-48(1+4k2)
(1+4k2)2
=8
4k2-3
(1+4k2)2
…（10分）
令4k2-3=t，則4k2=t+3（由上可知t＞0），S平行四邊形OANB=8
t
(t+4)2
=8
1
8+t+
16
t
≤8
1
16
=2，
當且僅當t=4，即k2=
7
4
時取等號；∴當k=±
7
2
，平行四邊形OANB面積的最大值為2
此時直線l的方程為y=±
7
2
x-2…（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）求值：sin
25π
6
+cos
4π
3
+tan（-
3π
4
）；
（Ⅱ）已知log23=a，log37=b，試用a，b表示log1456．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，AC=2，BC=4，已知點O是△ABC內一點，且滿足
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，則
OC
•(
BA
+
BC
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2
1
2
（ωx+φ）-2
3
sin
1
2
（ωx+φ）cos
1
2
（ωx+φ）（ω＞0.0＜φ＜
π
2
）其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
π
2
，且過點（-
π
6
，2）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）若f（
α
2
-
π
6
）=
1
2
，α是第三象限角，求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過曲線
x2
4
+y2=1（x＞0，y＞0）上的一點C（x0，y0），引曲線的切線分別與x正半軸、y正半軸交于A、B兩點．
（1）求證：切線AB的方程為
xx0
4
+yy0=1；
（2）求線段AB最短時切點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：關于x的不等式x2+（2a-1）x+a2≤0的解集為∅；命題q：2a2-a＞1．若p∨q為真，p∧q為假，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+
a-1
x
+1-2a（a≥
1
2
）．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線；
（Ⅱ）證明：f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩集合M={x∈R|0≤x≤8}，N={y∈R|0≤y≤5}．下列的對應關系中，是M到N的映射的是（　　）
A、f：x→y=2
x
B、f：x→y=
2
3
x
C、f：x→y=2x-1
D、f：x→y=
3x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）log2.56.25+lg0.01+ln
e
+2log23
（2）已知a-a-1=1，求
a2+a-2-3
a6+a-6
的值．

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