Question

如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)形式，利用符合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=a^x，當(dāng)x≥0時(shí)，
則函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠0）等價(jià)為：
y=g（t）=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
對(duì)稱軸t=

3a2+1

2

若a＞1，則當(dāng)x≥0時(shí)，t≥1，此時(shí)函數(shù)t=a^x單調(diào)遞增，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，
則g（t）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
即對(duì)稱軸t=

3a2+1

2

≤1，即3a²≤1，
即0＜a＜

3

3

，此時(shí)不成立，
若0＜a＜1，則當(dāng)x≥0時(shí)，則0＜t≤1，此時(shí)函數(shù)t=a^x單調(diào)遞減，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，
則g（t）在0＜t≤1單調(diào)遞減，
即對(duì)稱軸t=

3a2+1

2

≥1，即3a²≥1，
即

3

3

≤a＜1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

3

3

≤a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查符合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)同增異減的原則是解決本題的根據(jù)，本題還使用了換元法，注意對(duì)a要進(jìn)行分類討論．