Question

7．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b∈R），滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x），且在區(qū)間[-1，0]上的最大值為3，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-mx有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，0）∪[2，+∞）
• C． [-2，0）
• D． （-∞，0）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得直線(xiàn)x=1為函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，即有-$\frac{2a}$=1①，討論a＞0，a＜0，得到f（x）在區(qū)間[-1，0]的單調(diào)性，可得最大值，a-b=3②，解方程組可得a，b的值．作出函數(shù)f（x）=|x²-2x|的圖象和直線(xiàn)y=mx，再分類(lèi)討論，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論．

解答 解：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b∈R），滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x），
可得直線(xiàn)x=1為函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，即有-$\frac{2a}$=1①
由f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值為3，
若a＞0時(shí)，則f（x）在[-1，0]遞減，f（-1）取得最大值，且為a-b=3②
若a＜0時(shí)，f（x）在[-1，0]遞增，f（0）取得最大值，且為0，不成立．
由①②解得a=1，b=-2．
則f（x）=x²-2x，
若函數(shù)g（x）=|f（x）|-mx有唯一零點(diǎn)，
即為方程|f（x）|=mx有唯一實(shí)根，
作出y=|f（x）|的圖象和直線(xiàn)y=mx的圖象，
當(dāng)m=0，有y=0與y=|f（x）|有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m＞0時(shí)，由mx=2x-x²，即有x²+（m-2）x=0，
由判別式（m-2）²-4×0=0，解得m=2．
由圖象可得m≥2時(shí)，y=|f（x）|的圖象和直線(xiàn)y=mx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)0＜m＜2，y=|f（x）|的圖象和直線(xiàn)y=mx的圖象有，三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m＜0時(shí)，且y=mx為曲線(xiàn)y=|f（x）|的切線(xiàn)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，
即為原點(diǎn)為切點(diǎn)，y=|f（x）|=x²-2x（x＜0），
可得mx=x²-2x即x²-（2+m）x=0只有相等的兩實(shí)根，
可得判別式（2+m）²-4×0=0，解得m=-2．
由圖象可得-2≤m＜0時(shí)，y=|f（x）|的圖象和直線(xiàn)y=mx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即為原點(diǎn)．
綜上可得，所求m的范圍為[-2，0）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．