Question

已知a為實數(shù)，f（x）=（x²-4）（x-a），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）結(jié)合已知中函數(shù)的解析式及f′（-1）=0，構(gòu)造方程求出a值，進而分析出函數(shù)的單調(diào)性后，求出函數(shù)的極值和端點對應(yīng)的函數(shù)值，比照后可得答案．
（II）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均單調(diào)遞增，則f′（x）=3x²-2ax-4≥0對（-∞，-2]恒成立且f′（x）=3x²-2ax-4≥0對[2，+∞）恒成立，解不等式組可得答案．
解答：解：（I）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4）
又∵f′（-1）=-2×（-1-a）+（1-4）=0，
∴a=
∴f（x）=（x²-4）（x-），
∴f′（x）=2x（x-）+（x²-4）=3x²-x-4
令f′（x）=0，
解得x=-1，x=，
當x∈[-2，-1]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數(shù)
當x∈[-1，4/3]時，f′（x）≥0恒成立，f（x）為增函數(shù)，
當x∈[4/3，2]時，f′（x）≤0恒成立，f（x）為減函數(shù)
又∵f（-2）=0，f（-1）=，f（）=-，f（2）=0
可以得到最大值為，最小值為-
（II）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax-4，
依題意：f′（x）=3x²-2ax-4≥0對（-∞，-2]恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≥
又∵y=在（-∞，-2]上為增函數(shù)，故x=-2時，取最大值-2，
所以a≥-2
f′（x）=3x²-2ax-4≥0對[2，+∞）恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≤
又∵y=在[2，+∞）上為增函數(shù)，故x=2時，取最小值2，
所以a≤2
故a的取值范圍為[-2，2]．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．