Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（m-1）x+n，若對(duì)?x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的極小值，并判斷沒(méi)有極大值；
（2）根據(jù)條件可得出，對(duì)任意的x∈R，都有e^x-mx-n≥0成立，然后令u（x）=e^x-mx-n，求導(dǎo)u′（x）=e^x-m，討論m的取值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)的最小值，從而得出m+n≤2m-mlnm，同樣根據(jù)導(dǎo)數(shù)便可求出2m-mlnm的最大值，這樣即可求出m+n的最大值．

解答 解：（1）依題意f′（x）=e^x-1；
令f′（x）＜0得x＜0
令f′（x）＞0得x＞0
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增
故函數(shù)f（x）的極小值為f（0）=1，沒(méi)有極大值．
（2）依題意對(duì)?x∈R，f（x）≥g（x），即e^x-x≥（m-1）x+n，即e^x-mx-n≥0恒成立
令u（x）=e^x-mx-n，則u′（x）=e^x-m
①若m≤0，則u′（x）＞0，u（x）在R上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值，不符題意，舍去．
②若m＞0，令u′（x）=0得x=lnm
當(dāng)u′（x）＜0，即x∈（-∞，lnm）時(shí)，u（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)u′（x）＞0，即x∈（lnm，+∞）時(shí)，u（x）單調(diào)遞增．
故$u（x）_{min}=u（lnm）={e}^{lnm}-mlnm-n$=m-mlnm-n≥0；
故m+n≤2m-mlnm
令q（m）=2m-mlnm，則q′（x）=1-lnm
當(dāng)m∈（0，e）時(shí)，q′（x）＞0，q（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)m∈（e，+∞）時(shí)，q′（x）＜0，q（x）單調(diào)遞減
故q（x）_max=q（e）=2e-elne=e，即m+n≤e，即m+n的最大值是e．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法與過(guò)程，以及導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法．