Question

10．設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)體積，建立方程組，求出M的坐標，可得直線OM的斜率，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（2pt，2pt），M（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{p}{2}=\frac{2p}{3}{t}^{2}-\frac{p}{6}}\\{y=\frac{2pt}{3}}\end{array}\right.$，
∴x=$\frac{2p}{3}{t}^{2}+\frac{p}{3}$，y=$\frac{2pt}{3}$，
∴k_OM=$\frac{2t}{2{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{t+\frac{1}{2t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當t=$\frac{1}{2t}$時取等號，
∴直線OM的斜率的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查拋物線的方程及運用，考查直線的斜率的最大值，考查基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．