Question

已知數(shù)列{a_n}中，其中a₁=1，且當(dāng)n≥2，a_n=

an-1

2an-1+1

，求通項公式a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件利用遞推思想求出數(shù)列的前四項，然后猜想數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中，其中a₁=1，且當(dāng)n≥2，a_n=

an-1

2an-1+1

，
∴a2=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1 3

2× 1 3 +1

=

1

5

，
a₄=

1 5

2× 1 5 +1

=

1

7

，
由此猜想a_n=

1

2n-1

，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a1=

1

2×1-1

=1，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，成立，即ak=

1

2k-1

，
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

1 2k-1

2× 1 2k-1 +1

=

1

2(k+1)-1

，成立，
故a_n=

1

2n-1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．