Question

已知數列{a_n}的首項a₁=

1

4

，且2a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）．數列{b_n}滿足b₁=

3

4

，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數列{b_n-a_n}是等比數列；
（2）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由數列{a_n}的遞推式得到數列{a_n}為等差數列，由等差數列的通項公式得到數列{a_n}的通項公式，再由3b_n-b_n-1=n得到bn=

1

3

bn-1+

1

3

n（n≥2），把b_n與a_n作差后整理可證數列{b_n-a_n}是等比數列；
（2）求出等比數列{b_n-a_n}的通項公式，代入數列{a_n}的通項公式后得到數列{b_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵2a_n=2a_n-1+1（n≥2），
∴an-an-1=

1

2

（n≥2）．
∴數列{a_n}為等差數列．
又a₁=

1

4

，
∴an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

1

2

n-

1

4

；
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n（n≥2），
∴bn-an=

1

3

bn-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

bn-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

(bn-1-

1

2

n+

3

4

)
=

1

3

[bn-1-

1

2

(n-1)+

1

4

]=

1

3

(bn-1-an-1)．
∵b1-a1=

1

2

≠0．
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

．
∴數列{b_n-a_n}是等比數列；
（2）由（1）得，bn-an=

1

2

•(

1

3

)n-1，
∴bn=

1

2

n-

1

4

+

1

2

•(

1

3

)n-1．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了學生的靈活變形能力，是中檔題．