Question

已知函數(shù)f（x）=lg（kx+1）（k∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在[-10，﹢∞）是單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)要求真數(shù)為正得kx+1＞0，求解函數(shù)的定義域，注意對k進行分類討論；
（2）[-10，﹢∞）為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必為定義域的子集，則k≥0，分k=0和k＞0，進行討論，然后利用同增異減驗證復合函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解；（1）要是函數(shù)有意義，則必有kx+1＞0，
若k=0，則1＞0，顯然成立，函數(shù)定義域為R，
若k＞0，則x＞-

1

k

，函數(shù)定義域為（-

1

k

，+∞），
若k＜0，則x＜-

1

k

．函數(shù)定義域為（-∞，-

1

k

）；
（2）[-10，﹢∞）必為定義域的子集，則k≥0，
當k=0時，函數(shù)f（x）=lg1=0，為常函數(shù)，不單調(diào)，舍去，
當k＞0時，[-10，﹢∞）⊆（-

1

k

，+∞），
即-

1

k

≤-10，解之得，0＜k≤

1

10

，
此時根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，則函數(shù)f（x）=lg（kx+1）在[-10，﹢∞）是單調(diào)增函數(shù)．
則k的取值范圍是0＜k≤

1

10

．

點評：本題考察函數(shù)定義域的求法以及復合函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論．