Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+m（m∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的極值（用含m的式子表示）；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸有3個不同交點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）令f'（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=0，得：x=1或-3，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸有3個不同交點，則

f極大值(x)=f(-3)＞0 f 極小值(x)=f(1)＜0

，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+3x²-9x+m（m∈R）．
∴令f'（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=0，
得：x=1或-3…（2分）
當x＞1或x＜-3時，f'（x）＞0；
當1＜x＜3時，f'（x）＜0；
故f（x）在區(qū)間（1，+∞），（-∞，-3）單調(diào)遞增；在區(qū)間（-3，1）單調(diào)遞減…（4分）
于是f（x）的極大值f（-3）=27+m，極小值為f（1）=-5+m…（6分）
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸有3個不同交點，
則

f極大值(x)=f(-3)＞0 f 極小值(x)=f(1)＜0

…（8分）
即

27+m＞0 -5+m＜0

…（10分）
得-27＜m＜5，
∴m的取值范圍是（-27，5）．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的極值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．