Question

已知曲線，則過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線方程為_(kāi)_______．

Answer 1

x-y+2=0，或4x-y-4=0
分析：設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫(xiě)出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可．
解答：設(shè)曲線 y=x3+與過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x₀，x₀³+），
則切線的斜率 k=y′|x=x₀=x₀²，
∴切線方程為y-（ x₀³+）=x₀²（x-x₀），
即 y=x•x-x+
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-x₀³+，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
故答案為：x-y+2=0，或4x-y-4=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．本題易主觀地認(rèn)為點(diǎn)P即為切點(diǎn)．將它與求曲線上某點(diǎn)處的切線方程混淆．