Question

若f(x)=

1

3

x3-4x+2與直線y=k有且只有一個交點，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：將題中條件：“函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k只有一個公共點，”等價于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個零點”，利用導數(shù)求得原函數(shù)的極值，最后要使g（x）的其圖象和x軸只有一個交點，得到關于k的不等關系，從而求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一個零點，
因為g′（x）=f′（x）=x²-4
所以令g′（x）=0，解得x=2或x=-2，
所以情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）有且僅有一個零點等價于g（-2）＜0或g（2）＞0，
所以-

8

3

+8+2-k＜0或

8

3

-8+2-k＞0，解得k＞

22

3

或k＜-

10

3

．
故答案為：k＞

22

3

或k＜-

10

3

．

點評：本小題主要考查導數(shù)在極值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．