分析:(I)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)證明
tlom+mlot≤mt,只要證明
+≤1;
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法,關(guān)鍵是證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立,同時(shí)使用歸納假設(shè).
解答:(I)解:求導(dǎo)數(shù)可得:
f′(x)=log2(x-1)(x>1)
令f′(x)≥0,得x≥2,所以f(x)在(1,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增.
所以f(x)
min=f(2)=-1.
(Ⅱ)證明:
+=
-
=
-(
1-)
log2(1-)=-[
log2(m-1)-log2m]
由(I)知當(dāng)x>1時(shí),
log2(x-1)-log2x≥-1,
又m,t∈R
+,且
+=1,∴m>1
∴
log2(m-1)-log2m≥-1
∴
+≤1
∴
tlom+mlot≤mt.
(Ⅲ)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
1°當(dāng)n=1時(shí),由(Ⅱ)可知,不等式成立;
2°假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,
即若
a1,a2,a3,…,a2k∈R+,且
+++…+=1時(shí),
不等式
+++…+≤k成立
現(xiàn)需證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立,
即證:若
a1,a2,a3,…,a2k+1∈R+,且
+++…+=1時(shí),不等式
+++…+≤k+1成立.
證明如下:設(shè)
+++…+=x,則
+++…+=1∴
+++…+≤k∴
+++…+≥-kx∴
+++…+≥-kx+xlog
2x…①
同理
++…+≥-k(1-x)+(1-x)log
2(1-x)…②
由①+②得:
+++…+≥-k+[xlog
2x+(1-x)log
2(1-x)]
又由(Ⅱ)令
=x,則
=1-x,其中∈x(0,1),
則有
+≤1
∴xlog
2x+(1-x)log
2(1-x)≥-1
∴-k+[xlog
2x+(1-x)log
2(1-x)]≥-k-1
∴
+++…+≤k+1∴當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式也成立.
綜上,由1°和2°可知,原不等式均成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查不等式的證明,考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)歸納法的第2步,有難度.