Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1-

1

2

b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）若C_n=

3nbn

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）①通過解方程x²-12x+27=0的兩根，及公差d＞0即可得到a₂，a₅，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得到a₁與d及a_n；②當(dāng)n≥2時，T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，兩式相減得，b_n=

1

2

b_n-1-

1

2

b_n，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論即可得出cn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂項求和即可．

解答：解：（1）①∵等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d=

a5-a2

3

=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
②∵T_n=1-

1

2

b_n，
∴令n=1，得b₁=

2

3

，
當(dāng)n≥2時，T_n=1-

1

2

b_n，T_n-1=1-

1

2

b_n-1，兩式相減得，b_n=

1

2

b_n-1-

1

2

b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2），
數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•

1

3n

（n∈N^*）．
（2）∵bn=2•

1

3n

，C_n=

3nbn

anan+1

，
∴C_n=

3n×2× 1 3n

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．
∴S_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、通項與其前n項和的關(guān)系、裂項求和等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．