Question

等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1536，公比q=-

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2

，用π_n表示它的前n項(xiàng)之積．則π_n（n∈N^*）最大的是（　�。�

A．π₉

B．π₁₁

C．π₁₂

D．π₁₃

Answer 1

分析：由已知可求等比數(shù)列的通項(xiàng)a_n，可得等比數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)．然后由|a_n|≥1，以各項(xiàng)的符號，可得π₉ 或 π₁₂ 最大．計(jì)算可得π₁₂最大，從而得到答案．

解答：解：∵首項(xiàng)a₁=1536，公比q=-

1

2

，∴a_n=1536•(-

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2

)n-1，故等比數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)．
令|a_n|=1536•(

1

2

)n-1≥1 可得 2^n-1≤1536，∴n≤11．
故前11項(xiàng)的絕對值都大于1，其中有6個(gè)奇數(shù)項(xiàng)是正數(shù)，5個(gè)偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再由第12項(xiàng)的絕對值小于1且為負(fù)數(shù)，可得π₉ 或 π₁₂ 最大．
由數(shù)列的前n項(xiàng)之積π_n =1536ⁿ•(-

1

2

)0+1+2+3+…+(n-1)=1536ⁿ•(-

1

2

)

n(n-1)

2

，可得當(dāng)n=12時(shí)，則π_n（n∈N^*）最大，
故選C．

點(diǎn)評：本小題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、不等式以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識解決問題的能力，是一道中檔題．