【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若對任意的,都存在使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)求導得,分, 和 三種情況得單調(diào)區(qū)間.
(2)依題意,只需,由(1)當時, 在上單調(diào)遞增, ,
轉(zhuǎn)化為對任意的,不等式恒成立,構(gòu)造新函數(shù),對討論求最值即可.
試題解析:(1)
令得
①當時, ,當時, ;當或時, ,此時的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為;
②當時, , , 在上單調(diào)遞增;
③當時, ,當時, ;當或時, ,此時的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為
綜上所述,當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為;當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為;當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)可知,當時, 在上單調(diào)遞增,
∴時, ,依題意,只需
即對任意的,不等式恒成立,
設(shè),則,
∵,∴
①當時,對任意的, ,∴
∴在上單調(diào)遞增, 恒成立;
②當時,存在使得當時, ,∴,∴單調(diào)遞減,
∴,∴時, 不能恒成立
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立問題.求導比較導方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對應的函數(shù),然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進而求解得結(jié)果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.直線交曲線于兩點.
(1)寫出直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點的直角坐標為,求點到兩點的距離之積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x+cos2x﹣m在[0, ]上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣1,2)
B.[1,2)
C.(﹣1,2]
D.[1,2]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某幾何體的主視圖和左視圖如圖(1),它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1如圖(2),其中O1A1=6,O1C1=2,則該幾何體的側(cè)面積為( )
A.48
B.64
C.96
D.128
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【題目】已知F1 , F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點.且∠F1PF2= ,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A.
B.
C.3
D.2
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+b經(jīng)過定點(2,8)
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求不等式f(x)> 的解集.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 且F1 , F2與短軸的一個頂點Q構(gòu)成一個等腰直角三角形,點P( , )在橢圓C上.
(I)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)過F2作互相垂直的兩直線AB,CD分別交橢圓于點A,B,C,D,且M,N分別是弦AB,CD的中點,求△MNF2面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】西部大開發(fā)給中國西部帶來了綠色,人與環(huán)境日趨和諧,群眾生活條件和各項基礎(chǔ)設(shè)施得到了極大的改善,西部某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
, (其中, 為樣本平均值).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:mx﹣y=0,l2:x+my﹣m﹣2=0.
(1)求證:對m∈R,l1與l2的交點P在一個定圓上;
(2)若l1與定圓的另一個交點為P1 , l2與定圓的另一個交點為P2 , 求當m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時,△PP1P2的面積的最大值及對應的m.
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