Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3， AD=1， E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：

（1）若動(dòng)點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G ⊥D F。

Answer 1

（1）（2）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，由得 故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為故，所以。 即證得：

解析試題分析：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。
  
則A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．
D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）。  1分
(1)設(shè)M(x,y), 由題意知  2分
∴  3分
兩邊平方化簡(jiǎn)得：，即    5分
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓心（4,1），半徑為2的圓，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為    6分
（2）由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，    7分
由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，    8分
由得 故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為。    10分
又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），故，      12分
所以。 即證得：       13分
考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)的軌跡及直線垂直的判定
點(diǎn)評(píng)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟：建系設(shè)點(diǎn)，找到動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式并坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)得方程，驗(yàn)證是否有不滿(mǎn)足要求的點(diǎn)。判定兩線垂直可利用坐標(biāo)法判定直線斜率之積為