Question

11．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=1，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ，
（1）曲線C₁與曲線C₂交于兩點A，B，求A，B兩點之間的距離；
（2）設(shè)點M（x，y）為直角坐標(biāo)系中曲線C₂上任意一點，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心C₂到直線的距離d．利用勾股定理求A，B兩點之間的距離；
（2）設(shè)x+y=t，則圓心到直線的距離=$\frac{|1-2+t|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{5}$，由此求x+y的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=1，直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0；
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=2x-4y，配方為（x-1）²+（y+2）²=5，可得圓心C₂（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{5-2}$=$2\sqrt{3}$；  
（2）設(shè)x+y=t，則圓心到直線的距離=$\frac{|1-2+t|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{5}$，∴-$\sqrt{10}$-1≤t≤$\sqrt{10}-1$，
∴t的最大值為$\sqrt{10}-1$，
∴x+y的最大值為$\sqrt{10}-1$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式、直線與圓的相交問題、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．