Question

已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{a_n}前n項和為S_n，且滿足S₅=2a₄+a₅，a₉=a₃+a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_ma_m+1=a_m+2，求正整數(shù)m的值；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得

S2m

S2m-1

恰好為數(shù)列{a_n}中的一項？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q由題意列式求出公差和公比，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）分a_m=2k和a_m=2k-1，利用a_ma_m+1=a_m+2即可求出滿足該等式的正整數(shù)m的值；
（3）對于k∈N^*，有S2k=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得

S2m

S2m-1

恰好為數(shù)列{a_n}中的一項，設(shè)

S2m

S2m-1

=L（L∈N^*），則

m2-1+3m

m2-1+3m-1

=L，變形得到（3-L）3^m-1=（L-1）（m²-1），由此式得到L的可能取值，然后依次分類討論求解．

解答： ：解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₉=1+4d．
∵S₅=2a₄+a₅，
∴a₁+a₂+a₃=a₄，即4d=2q，
又a₉=a₃+a₄．
∴1+4d=1+d=2q．
解得：d=2，q=3．
∴對于k∈N^*，有a2k-1=1+(k-1)•2=2k-1，a2k=2•3k-1．
故an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

k∈N*；
（2）若a_m=2k，則由a_ma_m+1=a_m+2，得
2•3^k-1（2k+1）=2•3^k，解得：k=1，則m=2；
若a_m=2k-1，則由（2k-1）•2•3^k-1=2k+1，
此時左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立．
故滿足條件的正數(shù)為2；
（3）對于k∈N^*，有
S2k=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1．
假設(shè)存在正整數(shù)m，使得

S2m

S2m-1

恰好為數(shù)列{a_n}中的一項，
又由（1）知，數(shù)列中的每一項都為正數(shù)，故可設(shè)

S2m

S2m-1

=L（L∈N^*），
則

m2-1+3m

m2-1+3m-1

=L，變形得到
（3-L）3^m-1=（L-1）（m²-1）①．
∵m≥1，L≥1，3^m-1＞0，
∴L≤3．
又L∈N^*，故L可能取1，2，3．
當(dāng)L=1時，（3-L）3^m-1＞0，（L-1）（m²-1）=0，
∴①不成立；
當(dāng)L=2時，（3-2）3^m-1=（2-1）（m²-1），即3^m-1=m²-1．
若m=1，3^m-1≠m²-1，
令Tm=

m2-1

3m-1

(m∈N*，m≥2)，
則Tm+1-Tm=

(m+1)2-1

3m

-

m2-1

3m-1

=

-2m2+2m+3

3m

=

-2(m+ 1 2 )2+ 7 2

3m

≤

-2m2+2×2+3

32

＜0．
因此，1=T₂＞T₃＞…，
故只有T₂=1，此時m=2，L=2=a₂．
當(dāng)L=3時，（3-3）3^m-1=（3-1）（m²-1）．
∴m=1，L=3=a₃．
綜上，存在正整數(shù)m=1，使得

S2

S1

恰好為數(shù)列{a_n}中的第三項，
存在正整數(shù)m=2，使得

S4

S3

恰好為數(shù)列{a_n}中的第二項．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是壓軸題．