Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-e^1-x．
（1）該函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)A、B，使過(guò)A、B的直線平行于x軸？證明你的結(jié)論；
（2）若函數(shù)h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)圖象上不存在不同兩點(diǎn)A、B，使過(guò)A、B的直線平行于x軸，證明如下：
由函數(shù)f（x）=e^x-1-e^1-x知，此函數(shù)中e^x-1是一個(gè)增函數(shù)，e^1-x是一個(gè)減函數(shù)，故f（x）=e^x-1-e^1-x是一個(gè)增函數(shù)，
由此知函數(shù)圖象上不可能存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)相等，即該函數(shù)圖象上不存在不同兩點(diǎn)A、B，使過(guò)A、B的直線平行于x軸
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=e^x-1-e^1-x是一個(gè)增函數(shù)，當(dāng)f（x）=0時(shí)必有e^x-1=e^1-x 成立，即有x-1=1-x，即x=1時(shí)函數(shù)值為0
又函數(shù)h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零點(diǎn)，故25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1=1，整理得m=25^-|x+1|-4•5^-|x+1|，
不妨令t=5^-|x+1|=，所以t∈（0，1）
即m=t²-4t=（m-2）²-4，t∈（0，1），
∴m∈（-3，0）
分析：（1）觀察知，此函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不存在不同兩點(diǎn)A、B，使過(guò)A、B的直線平行于x軸，證明出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，即可說(shuō)明結(jié)論；
（2）由（1）知，f（x）=0時(shí)必有e^x-1=e^1-x 成立，解得x=1，由此知函數(shù)h（x）=f（25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1）存在零點(diǎn)必有25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m+1=1從而得到m=25^-|x+1|-4•5^-|x+1|，利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，解出值域即得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查了指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)恒存在零點(diǎn)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，將所研究的問(wèn)題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，第一小題中轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象上有沒(méi)有兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，第二小題中由函數(shù)一定存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化出m的方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從而借助求函數(shù)的值域求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，本題綜合性強(qiáng)，是能力型題，由題設(shè)條件分析出解決問(wèn)題的方法是本題的重點(diǎn)．