Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-mx+

1-m

x

(m∈R)
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)m≤

1

4

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x+n．當(dāng)m=

1

12

時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程只需求出切線斜率k=f′（1），從而求出所求；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論m的范圍，得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（2）求出對(duì)任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=

5

6

，然后根據(jù)題意可知存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤

5

6

，解之即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=lnx-2x-

1

x

（x∈（0，+∞））
因此f（1）=-3，f′（x）=

1

x

-2+

1

x2

，切線斜率k=f′（1）=0
所以切線方程為y=-3
（2）f′（x）=

1

x

-m+

m-1

x2

=

-mx2+x+m-1

x2

令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
當(dāng)m=0時(shí)，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)m≠0時(shí)，h（x）=-m（x-1）[x-（

1

m

-1）]，
當(dāng)m＜0時(shí)，

1

m

-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
0＜m≤

1

4

時(shí)，0＜1＜

1

m

-1，f（x）在（0，1），（

1

m

-1，+∞）上是減函數(shù)，f（x）在（1，

1

m

-1）上是增函數(shù)
（3）當(dāng)m=

1

12

時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，f（x）在（1，2）上是增函數(shù)
∴對(duì)任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=

5

6

又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤

5

6

，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤

5

6

 即n-1≤

5

6

解得n≤

11

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．