Question

設n（n≥2）是給定的整數，x₁，x₂，…，x_n是實數，則sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁的最大值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式sinx₁cosx₂≤

sin2x1+cos2x2

2

，sinx₂cosx₃≤

sin2x2+cos2x3

2

，…，sinx_ncosx₁≤

sin2xn+cos2x1

2

，即可證得結論．

解答： 解：∵sinx₁cosx₂≤

sin2x1+cos2x2

2

，
sinx₂cosx₃≤

sin2x2+cos2x3

2

，
…
sinx_ncosx₁≤

sin2xn+cos2x1

2

，
∴sinx₁cosx₂+sinx₂cosx₃+…+sinx_ncosx₁
≤

sin2x1+cos2x2

2

+

sin2x2+cos2x3

2

+…+

sin2xn+cos2x1

2

=

(sin2x1+cos2x1)+(sin2x2+cos2x2)+…+(sin2xn+cos2xn)

2

=

n

2

（當x₁=x₂=…=x_n=

π

4

+2kπ（k∈N）時可取“=”）．
故答案為：

n

2

．

點評：本題考查三角函數的最值，著重考查基本不等式的應用，考查觀察與綜合分析．運算求解的能力，屬于難題．