Question

某人造衛(wèi)星在地球赤道平面繞地球飛行，甲、乙兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)分別位于赤道上東經(jīng)131°和147°，在某時(shí)刻測得甲監(jiān)測點(diǎn)到衛(wèi)星的距離為1537.45 千米，乙監(jiān)測點(diǎn)到衛(wèi)星的距離為887.64 千米．假設(shè)地球赤道是一個(gè)半徑為6378千米的圓，求此時(shí)衛(wèi)星所在位置的高度（結(jié)果精確到0.01 千米）和經(jīng)度（結(jié)果精確到0.01°）．

Answer 1

考點(diǎn)：球面距離及相關(guān)計(jì)算

專題：解三角形

分析：設(shè)地球球心為O，甲、乙兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)分別為A，B，衛(wèi)星位置為C，則O，A，B，C四點(diǎn)均在赤道面上，進(jìn)而利用余弦定理解△OAB，△ABC，△OAC可得答案．

解答： 解：設(shè)地球球心為O，甲、乙兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)分別為A，B，衛(wèi)星位置為C，
則O，A，B，C四點(diǎn)均在赤道面上，如下圖所示：

故OA=OB=6378，AC=1537.45，BC=887.64，
在△OAB中，∠AOB=147°-131°=16°，
故∠OAB=∠OBA=82°，
故AB=

63782+63782-2•63782•cos16°

≈1875.50，
在△ABC中，cos∠CAB=

1537.452+1875.502-887.642

2×1537.45×1875.50

≈0.8832，
故∠CAB≈28°，
在△AOC中，∠CAO=110°，
故OC=

63782+1537.452-2•6378•1537.45 •cos110°

≈7098.61，
∵7098.61-6378=720.61，
故衛(wèi)星所在位置的高度約為720.61千米；
cos∠AOC=

63782+71098.612-1537.452

2×6378×71098.61

≈0.9796，
∴∠AOC≈11.6°，
由131°+11.6°=142.6°，
故衛(wèi)星所在位置的經(jīng)度約為142.6°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)余弦定理，但本題所涉及的數(shù)據(jù)計(jì)算起來太復(fù)雜，故不建議運(yùn)算，只了解運(yùn)算思路即可．