Question

過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線的左、右支的交點分別為A、B．

(1)求證：P在雙曲線的右準線上；

(2)求雙曲線的離心率e的取值范圍；

(3)若|AP|＝3|PB|，求離心率e．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)雙曲線在第一、三象限的漸近線方程為 　　bx－ay＝0．　�、� 　　設(shè)l的方程為ax＋by＋m＝0． 　　∵F(c，0)在l上，∴m＝－ac， 　　∴l的方程是ax＋by－ac＝0．　�、� 　　聯(lián)立①，②得P(，)， 　　∴點P在右準線x＝上． 　　(2)聯(lián)立直線l與雙曲線的方程得 　　(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b2)＝0 　　∵l與雙曲線交于左、右支各一點， 　　∴x1x2＝＜0． 　　∴b4－a4＞0，∴b2－a2＞0，即c2－2a2＞0． 　　∴()2－2＞0，∴e＞． 　　(3)∵點P分有向線段AB所成的比為λ，且λ＝3， 　　∴＝，∴x1＋3x2＝．　�、� 　　又∴x1＋x2＝，　　④ 　　聯(lián)立③，④，可解得 　　又∴x1x2＝， 　　∴＝． 　　∴a6－5a2b4＝a4c－a2b2c2－b4． 　　兩邊同除以a2，又c2＝a2＋b2， 　　可得e6－7e4＋11e2－5＝0． 　　即(e2－5)(e2－1)2＝0，又e＞1，∴e＝． 　　分析：(1)要證明點P在右準線上，只要證明點P的坐標滿足右準線方程．(2)只要能構(gòu)造關(guān)于a、b、c的不等式，就可求得e的取值范圍．(3)要求離心率e的值，則需要根據(jù)條件|AP|＝3|PB|構(gòu)造關(guān)于a、b、c的等式．

提示：

評注：在第(3)小題的求解中，涉及大量的字母運算，所以對運算的要求較高，必須有很強的運算能力，才能獲得正確的結(jié)論．