Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn= ，求證：c1+c2+…+cn＜n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．

∴（bn+1+1）（bn+1）=2（bn+1+1）﹣1，化為： ﹣ =﹣1，

∴數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為﹣2，公差為﹣1．

∴ =﹣2﹣（n﹣1）=﹣1﹣n，∴bn=﹣ ．

（2）證明：由（1）可得：an=bn+1=1﹣ = ．

∴cn= = = =1+ ，

∵n≥2時(shí)，2n+2≤2n+1﹣1，∴ ＜ ，

∴c1+c2+…+cn≤n+ + =n+ ﹣ ＜n+ ．

【解析】（1）an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．代入化為： ﹣ =﹣1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）可得：an=bn+1=1﹣ = ．代入cn= =1+ ，由于n≥2時(shí)，2n+2≤2n+1﹣1，可得 ＜ ，利用“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．