Question

19．在三棱錐P-ABC中，D為底面ABC的邊AB上一點，M為底面ABC內(nèi)一點，且滿足$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$，則三棱錐P-AMD與三棱錐P-ABC的體積比 $\frac{{{V_{P-AMD}}}}{{{V_{P-ABC}}}}$為（　　）

• A． $\frac{9}{25}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{9}{16}$
• D． $\frac{9}{20}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合向量等式可得AD=$\frac{3}{4}AB$，DM=$\frac{3}{5}BC$，且∠ABC=∠ADM，進一步得到△ADM與△ABC面積的關(guān)系得答案．

解答 解：如圖，

設(shè)三棱錐P-ABC的底面三角形ABC的面積為S，高為h，
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$，
∴AD=$\frac{3}{4}AB$，DM=$\frac{3}{5}BC$，且∠ABC=∠ADM，
∴${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}AD•DM•sin∠ADM$=$\frac{1}{2}•\frac{3}{4}AB•\frac{3}{5}BC•sin∠ABC=\frac{9}{20}S$．
∴$\frac{{{V_{P-AMD}}}}{{{V_{P-ABC}}}}$=$\frac{\frac{1}{3}•\frac{9}{20}S•h}{\frac{1}{3}•S•h}=\frac{9}{20}$．
故選：D．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查平面向量在求解立體幾何問題中的應(yīng)用，是中檔題．