Question

15．已知數列{a_n}滿足：a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設數列{b_n}滿足3^b_n=$\frac{3}{a_n}$，求數列{$\frac{b_n}{a_n}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=n$，與原式相減可知${a_n}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$，當n=1時成立，即可求得數列{a_n}的通項；
（2）由（1）可求得b_n=n，則$\frac{b_n}{a_n}=n{3^{n-1}}$，利用乘以公比“錯位相減法”即可求得數列{$\frac{b_n}{a_n}$}的前n項和S_n．

解答 解：（1）當n≥2時，${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=n$，①
${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-2}}{a_{n-1}}=n-1$，②
由①-②得：3^n-1a_n=1，
∴${a_n}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$，…（4分）
當n=1時，a₁=1也滿足上式，
∴${a_n}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}（n∈{N^*}）$．…（6分）
（2）由（Ⅰ）及${3^{b_n}}=\frac{3}{a_n}$得，${3^{b_n}}={3^n}$，
∴b_n=n，…（7分）
∴$\frac{b_n}{a_n}=n{3^{n-1}}$，
∴${S_n}=1\;•\;{3^0}+2\;•\;{3^1}+3\;•\;{3^2}+…+n\;•\;{3^{n-1}}$，…（8分）
$3{S_n}=1\;•\;{3^1}+2\;•\;{3^2}+3\;•\;{3^3}+…+n\;•\;{3^n}$．
以上兩式相減得：$-2{S_n}=1+3+{3^2}+…+{3^{n-1}}-n\;•\;{3^n}$=$\frac{{1-{3^n}}}{1-3}-n\;•\;{3^n}$，…（11分）
∴${S_n}=\frac{n}{2}\;•\;{3^n}-\frac{1}{4}\;•\;{3^n}+\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查求數列的通項公式，考查利用“錯位相減法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．