Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若sin（

π

4

+α）=

2

2

，且0＜α＜π，求f（α）的值；
（Ⅱ）當f（x）取得最小值時，求自變量x的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由α得范圍求得

π

4

+α的范圍，再由sin（

π

4

+α）=

2

2

求得α的值，把α代入f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

求得f（α）的值；
（Ⅱ）化簡f（x）為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，求其最小值并得到使y取得最小值時的自變量x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴

π

4

＜

π

4

+α＜

5π

4

．
∵sin（

π

4

+α）=

2

2

，
∴

π

4

+α=

3π

4

，即α=

π

2

．
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

=cos

π

2

（sin

π

2

+cos

π

2

）-

1

2

=-

1

2

；
（Ⅱ）f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
當2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，
即x=kπ-

3π

8

，k∈Z時，f（x）取得最小值，
此時自變量x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的倍角公式與和差化積公式，考查了三角函數(shù)的最值，是中檔題．