Question

在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下右圖。

   （1）求證：平面ABCD；

   （2）求二面角E—AC—D的余弦值；

   （3）在線段BC上是否存在點F，使SF//平面EAC？若存在，確定F的位置， 若不存在，請說明理由。

Answer 1

解法一：（1）證明：在上左圖中，由題意可知，

    為正方形，

    所以在上右圖中，，

    四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

    因為，ABBC，

    所以BC平面SAB，           （2分）

    又平面SAB，

    所以BCSA，

    又SAAB，

    所以SA平面ABCD，  （4分）

   （2） 在AD上取一點O，使，連接EO。

    因為，所以EO//SA

    所以EO平面ABCD，

    過O作OHAC交AC于H，連接EH，

    則AC平面EOH，

    所以ACEH。

    所以為二面角E—AC—D的平面角，

   

    在中，

   

    ,，

    即二面角E—AC—D的余弦值為   （10分）

   （3）當F為BC中點時，SF//平面EAC，

    理由如下：取BC的中點F，連接DF交AC于M，

    連接EM，AD//FC，

    所以，又由題意

    SF//EM，又平面EAC，

    所以SF//平面EAC，即當F為BC的中點時，

    SF//平面EAC   （14分）

    解法二：（1）同方法一 （4分）

   （2）如圖，以A為原點建立直角坐標系，

    A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）

    易知平面ACD的法向為

    設(shè)平面EAC的法向量為

   

    由，

    所以，可取

    所以   （7分）

    所以

   

    即二面角E—AC—D的余弦值為   （10分）

   （3）設(shè)存在，

    所以SF//平面EAC，

    設(shè)

    所以，由SF//平面EAC，

    所以，所以0，

    即，即F（2，1，0）為BC的中點       （14分）