在△ABC中，DEF為BC、AC、AB上的點，
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
），
DE
•
AD
=
DE
•
CD
，
DF
=μ（
BD
•sinB
|
BD
|
+
AD
•cosB
|
AB
|
），則
|
BC
|
|
EF
|
=
 
．
考點：向量加減混合運算及其幾何意義
專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析：由題意得出
BC
⊥
AD
，
DE
⊥
AC
，
BA
⊥
DF
，得A，E，D，F(xiàn)四點共圓，證明△AEF∽△ABC，求出
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
的值，即得結(jié)果．
解答： 解：如圖所示，
∵
.
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
），
∴
BC
•
AD
=λ[
|
AB
|•|
BC
|•(-cosB)
|
AB
|•cosB
+
|
AC
|•|
BC
|•cosC
|
AC
|•cosC
]=0，
∴
BC
⊥
AD
，即BC⊥AD；
∵
DE
•
AD
=
DE
•
CD
，
∴
DE
•（
AD
-
CD
）=0，
∴
DE
•（
DC
-
DA
）=0，
即
DE
•
AC
=0，
∴
DE
⊥
AC
，即DE⊥CA；
又∵
DF
=μ（
BD
•sinB
|
BD
|
+
AD
•cosB
|
AD
|
），
∴
BA
•
DF
=μ[
|
BD
|•|
BA
|•cosB•sinB
|
BD
|
+
|
AD
|•|
BA
|•(-sinB)•cosB
|
AD
|
]=0，
∴
BA
⊥
DF
，即BA⊥DF；
連接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴A，E，D，F(xiàn)四點共圓，∴∠AEF=∠ADF；
又∵AD⊥BC，∴∠B=∠ADF，
∴∠B=∠AEF，
∴△AEF∽△ABC；
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
，
∵
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
∴
3
4
AC
AB
=
2
3
AB
AC
，即AC=
2
2
3
AB；
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
3
4
AC
AB
=
3
4
×
2
2
3
•AB
AB
=
2
2
，
∴
|
BC
|
|
EF
|
=
2
．
故答案為：
2
．
點評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、四點共圓的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、向量共線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計算能力，是難題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是（　�。�
A、y=
x2
x
B、y=(
x3
)
2
3
C、y=lg10x
D、y=2log2x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，-2），
b
=（-
1
2
，y），若
a
∥
b
，則y=（　�。�
A、1B、-1C、2D、-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點．
（1）若E為A1C1的中點，求證：DE∥平面ABB1A1；
（2）若E為A1C1上一點，且A1B∥平面B1DE，求
A1E
EC1
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=acosx+b（a，b為常數(shù)）的最大值為1，最小值為-7，求函數(shù)y=3+absinx的最值和最小正周期．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：AE、AD、BC分別切⊙O于E、D、F，若AD=14，則△ABC的周長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

利用定義判斷函數(shù)求y=
3
x-2
在區(qū)間[3，6]上的單調(diào)性，并求該函數(shù)在[3，6]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M(1，
2
2
)，其離心率為
2
2
，經(jīng)過點(0，
2
)，斜率為k的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A、B兩點，則是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，則
y-3
x-1
的取值范圍是
 
．

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