Question

（1）．已知函數(shù)y=x+（x＞-2），求此函數(shù)的最小值．
（2）已知x＜，求y=4x-1+的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R⁺且x+2y=1，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)題中遇到形如a+的結(jié)構(gòu)或ab與a+b的互化問題時(shí)基本不等式是解決問題較好的方法，所以本題可以嘗試用基本不等式解題．
（1）函數(shù)可化為：y=x+=（x+2）+-2
（2）函數(shù)可化為：y=4x-1+=（4x-5）++4（需注意x＜時(shí)，4x-5＜0所以要變號(hào)）
（3）20=5x+7y≥，則xy≤=
（4）因?yàn)閤，y∈R⁺且x+2y=1，所以=（）（x+2y）=3++≥2+3=
解答：解：（1）函數(shù)y=x+=（x+2）+-2≥=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x+2=時(shí)等號(hào)成立，即x=2時(shí)取最小值為6（x＞-2）
（2）））∵x＜∴4x-5＜0
∴y=4x-1+=（4x-5）++4
=-[-（4x-5）-]+4≤-2+4=2
當(dāng)且僅當(dāng)4x-5=時(shí)等號(hào)成立，即x=1時(shí)取最大值為2．
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20∴20=5x+7y≥；∴xy≤=
當(dāng)且僅當(dāng)5x=7y時(shí)等號(hào)成立，即x=2，y=時(shí)取最大值為
（4）=（）（x+2y）=3++≥2+3=（），
當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取最大值為．
點(diǎn)評(píng)：基本不等式a+b≥2；，（a＞0，b＞0）是不等式問題中考查的重點(diǎn)之一，在用基本不等式求最值時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
1、正：即a＞0，b＞0，2、定：即a+b或ab是定值，3、等：即當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，能取到最值．