Question

在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

an

2n

，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，比較T_n與2的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,不等式比較大小,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n，經(jīng)驗(yàn)證，a₁=1滿足上式，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）依題意知，b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，從而可與2比較大�。�

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，
經(jīng)驗(yàn)證，a₁=1滿足上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
則

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
兩式相減，得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查錯(cuò)位相減法求和，考查不等式比較大小，屬于中檔題．