Question

在平面幾何里，已知Rt_△SAB的兩邊SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，則AB邊上的高；現(xiàn)在把結(jié)論類比到空間：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，則點S到平面ABC的距離h'=________．

Answer 1

分析：設S到平面ABC的距離為h，過點S向底面ABC引垂線，垂足為O，連CO并延長交AB于M，連接SM，則SM⊥AB，CM⊥AB，在直角三角形SAB中可求得AB=，SM=，同理在直角三角形CSM中可求得|CM|=，于是S_△ABC=•|AB|•|CM|=••=•，由V_S-ABC=V_C-ABS，即可求得S到平面ABC的距離為h′．
解答：把結(jié)論類比到空間：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，則點S到平面ABC的距離h'=．
證明：設S到平面ABC的距離為h′，過點S向底面ABC引垂線，垂足為O，連CO并延長交AB于M，連接SM，則SM⊥AB，CM⊥AB，
在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=，又ab=|AB|•|SM|
∴|SM|=，
∵SA，SB，SC兩兩相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM?平面SAB，
∴SC⊥SM，
∵在直角三角形CSM中，|CM|=，
∴是S_△ABC=•|AB|•|CM|=••=•，
由V_S-ABC=V_C-ABS可得：
•abc=S_△ABC•h′=•••h′，
∴h′=，
∴S到平面ABC的距離h′=．
故答案為：．
點評：本題考查類比推理，難點在于線面垂直（SC⊥平面SAB）的性質(zhì)（SC⊥SM）的應用，著重考查類比推理的思想及等體積輪換公式的應用，屬于中檔題．