Question

已知點F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點Q（x₀，y₀）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過雙曲線C上一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P₁和P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

Answer 1

分析：（1）確定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，從而可得雙曲線C的方程；
（2）分類討論：①當切線l的斜率存在，設切線l的方程代入雙曲線C中，利用韋達定理，結合直線l與圓O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②當切線l的斜率不存在時，求出A，B的坐標，即可得到結論；
（3）確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點P（x₀，y₀），求出點P到兩條漸近線的距離，利用P（x₀，y₀）在雙曲線C上，及向量的數(shù)量積公式，即可求得結論．

解答：（1）解：設F₂，M的坐標分別為（

1+b2

，0），（

1+b2

，y0）（y₀＞0）-------------------（1分）
因為點M在雙曲線C上，所以1+b²-

y02

b2

=1，即y0=b2，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故雙曲線C的方程為：x2-

y2

2

=1-------------------（4分）
（2）證明：①當切線l的斜率存在
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：y=kx+n（k≠±

2

）
代入雙曲線C中，化簡得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

8n2-8k2+16 (2-k2)2

-------------------（6分）
因為直線l與圓O相切，所以

|n|

1+k2

=

2

，代入上式，得|AB|=2

2

1+k2

×

k2+4 (2-k2)2

-----------（7分）
設點M的坐標為（x_M，y_M），則x_M=

kn

2-k2

，y_M=

2n

2-k2

，
所以|OM|=

2

1+k2

×

k2+4 (2-k2)2

-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②當切線l的斜率不存在時，A（

2

，-

2

），B（

2

，

2

）或A（-

2

，-

2

），B（-

2

，

2

）
此時|AB|=2

2

，|OM|=

2

，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）解：由條件可知：兩條漸近線分別為l₁：

2

x-y=0，l₂：

2

x+y=0-------------------（11分）
設雙曲線C上的點P（x₀，y₀），則點P到兩條漸近線的距離分別為|

PP1

|=

| 2 x0-y0|

3

，|

PP2

|=

| 2 x0+y0|

3

所以|

PP1

||

PP2

|=

|2x02-y02|

3

-------------------（13分）
因為P（x₀，y₀）在雙曲線C上，所以2x02-y02=2
故|

PP1

||

PP2

|=

2

3

-------------------（14分）
設

PP1

和

PP2

的夾角為θ，則由tan

π-θ

2

=

2

，可得cosθ=

1

3

-------------------（15分）
所以

PP1

•

PP2

=|

PP1

||

PP2

|cosθ=

2

9

-------------------（16分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．