Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4lnx，g（x）=-x²+3x
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若方程f（x）+2g（x）-m=0有唯一解，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，若存在求a的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）原方程等價(jià)為-x²-4lnx+6x=m，令h（x）=-x²-4lnx+6x，由于x＞0，原方程有唯一解，則有y=h（x）和y=m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，令m小于極小值或m大于極大值即可；
（Ⅲ）分別求出f（x）、g（x）的單調(diào)區(qū)間，求得增區(qū)間，再由題意可得它與區(qū)間（a，a+1）的包含關(guān)系，得到不等式，解得即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-4lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-

4

x

，
函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=2-4=-2，
切點(diǎn)為（1，1），則切線方程為：y-1=-2（x-1），即為y=3-2x；
（Ⅱ）原方程等價(jià)為-x²-4lnx+6x=m，令h（x）=-x²-4lnx+6x，則有h（x）=m，
由于x＞0，原方程有唯一解，則有y=h（x）和y=m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)．
h′（x）=-2x-

4

x

+6=

-2(x-1)(x-2)

x

，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當(dāng)x＞2或0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
則h（1）為極小值，且為5；h（2）為極大值，且為8-4ln2．
當(dāng)x＞0時(shí)原方程有唯一解的充要條件為m＜5或m＞8-4ln2；
（Ⅲ）f′（x）=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，又x＞0，當(dāng)x＞

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
g（x）=

9

4

-（x-

3

2

）²，g（x）在x＞

3

2

上遞減，在x＜

3

2

遞增．
則f（x）和g（x）在（

2

，

3

2

）上遞增．
欲使f（x），g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，則需a≥

2

且a+1≤

3

2

，
解得，a∈∅．
故不存在實(shí)數(shù)a使得f（x），g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．