分析 求出拋物線的方程,由直線l:y=x+m與拋物線方程,聯(lián)立得x2+(2m-4)x+m2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式,求出直線l被拋物線E所截得弦長|AB|,得出△FAB面積表達式,利用基本不等式求出最值來.
解答 解:∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),
∴拋物線的方程為y2=4x
由直線l:y=x+m與拋物線方程,聯(lián)立得x2+(2m-4)x+m2=0,
由直線l與拋物線E有兩個不同交點,
得△=(2m-4)2-4m2=16-16m>0在0≤m<1時恒成立;
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4-2m,x1x2=m2;
|AB|=√2|x1-x2|=4√2•√1−m
又∵點F(1,0)到直線l:y=x+m的距離為d=|1+m|√2,
∴△FAB的面積為S=12d•|AB|=2√(1−m)(1+m)2=√2•√(2−2m)(1+m)(1+m)
≤√2•√(2−2m+1+m+1+m3)3=8√69
當(dāng)且僅當(dāng)2-2m=1+m,即m=13時取等號,即△FAB的面積的最大值為8√69.
故答案為:8√69.
點評 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,確定三角形的面積,正確運用基本不等式是關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4f(-2)<f(-1) | B. | 4f(4)<f(2) | C. | 4f(2)>-f(-1) | D. | 3f(√3)>4f(2) |
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A. | (\frac{\sqrt{5}-2}{2},1) | B. | (0,\frac{\sqrt{5}-2}{2}) | C. | (0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}) | D. | (\frac{\sqrt{5}-1}{2},1) |
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