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20.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),直線l:y=x+m與拋物線交于不同的兩點A,B,若0≤m<1,則△FAB的面積的最大值是869

分析 求出拋物線的方程,由直線l:y=x+m與拋物線方程,聯(lián)立得x2+(2m-4)x+m2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式,求出直線l被拋物線E所截得弦長|AB|,得出△FAB面積表達式,利用基本不等式求出最值來.

解答 解:∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),
∴拋物線的方程為y2=4x
由直線l:y=x+m與拋物線方程,聯(lián)立得x2+(2m-4)x+m2=0,
由直線l與拋物線E有兩個不同交點,
得△=(2m-4)2-4m2=16-16m>0在0≤m<1時恒成立;
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=4-2m,x1x2=m2;
|AB|=2|x1-x2|=421m
又∵點F(1,0)到直線l:y=x+m的距離為d=|1+m|2,
∴△FAB的面積為S=12d•|AB|=21m1+m2=222m1+m1+m
222m+1+m+1+m33=869
當(dāng)且僅當(dāng)2-2m=1+m,即m=13時取等號,即△FAB的面積的最大值為869
故答案為:869

點評 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,確定三角形的面積,正確運用基本不等式是關(guān)鍵.

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