Question

已知函數f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x．
（1）求f(

π

12

)的值；
（2）當x∈[0，

π

2

]，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,半角的三角函數

專題：計算題

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用和差化積公式變形為一個角的余弦函數，
（2）根據余弦函數的定義域與值域求出f（x）的最大值，對于任意的x∈[0，

π

2

]，求出函數f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

3

）-（1-cos2x）]=

1

2

[cos（2x-

π

3

）+cos2x]=cos

π

6

cos（2x-

π

6

）=

3

2

cos（2x-

π

6

），
f(

π

12

)=

3

2

cos（2×

π

12

-

π

6

）=

3

2

．
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴-

3

2

≤cos（2x-

π

6

）≤1，
則

3

2

cos（2x-

π

6

）∈[-

3

4

，

3

2

]，
∴函數y=f（x）的值域：[-

3

4

，

3

2

]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，余弦函數的定義域與值域，以及余弦函數的單調性及對稱性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．