Question

18．如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設AD=x（x＞0），求用x表示AE的函數(shù)關系式；
（2）設AD=x（x＞0），ED=y，求用x表示y的函數(shù)關系式；
（3）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE把草坪分成面積相等的兩部分，利用任意三角形的面積公式建立關系即可．
（2）利用余弦定理建立關系即可．

解答 解：（1）由題意：DE把草坪分成面積相等的兩部分，AD=x，
∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$，即$\frac{1}{2}x•AE•sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$AE=\frac{2}{x}$（x＞0），…①
（2）AD=x（x＞0），ED=y，在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°，即y²=x²+AE²-x•AE，②
①代入②得：${y^2}={x^2}+{（\frac{2}{x}）^2}-2$（y＞0），∴$y=\sqrt{{x^2}+{{（\frac{2}{x}）}^2}-2}$（1≤x≤2）．
（3）如果DE是水管，$y=\sqrt{{x^2}+{{（\frac{2}{x}）}^2}-2}≥\sqrt{2×2-2}=\sqrt{2}$，
當且僅當${x^2}=\frac{4}{x^2}$，即$x=\sqrt{2}$時“=”成立，故${y_{min}}=\sqrt{2}$，
即DE∥BC，且$AD=DE=\sqrt{2}$時，DE最短；
如果DE是參觀線路，記$f（x）={x^2}+\frac{4}{x^2}$，
根據(jù)勾勾函數(shù)的圖象及性質，可知函數(shù)在$[1，\sqrt{2}]$上遞減，在$[\sqrt{2}，2]$上遞增，
故f（x）_max=f（1）=f（2）=5，
∴${y_{max}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$，
即DE為AB中線或AC中線時，DE最長．

點評 本題考查余弦定理和基本不等式的性質以及函數(shù)的思想在實際問題中的運用和關系的建立．屬于中檔題．