Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，E、M分別為AB、DE的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A′DE，A′C=4．求證：平面A′DE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：依題意，可知△A′DE為等邊三角形，連接CE，只需證明CE⊥A′E且CE⊥DE即可．

解答：證明：∵平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=2．

連接CE，∠ABC=120°，BE=BC=2，
由余弦定理得CE²=BE²+CB²-2BE•BCcos∠ABC=4+4-2×2×2×（-

1

2

）=12，
在△A′EC中，A′E=AE=2，A′C=4，CE=2

3

，滿足A′C²=CE²+A′E²，
∴CE⊥A′E；
在△CDE中，同理可證CE⊥DE；
∵A′E∩DE=E，
∴CE⊥平面A′DE，又CE?平面BCD，
∴平面A′DE⊥平面BCD．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定，證明CE⊥平面A′DE，是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查余弦定理與勾股定理的應(yīng)用，考查線面垂直的判定，屬于中檔題．