Question

19．已知點A（-$\sqrt{2}$，0）和圓B：（x-$\sqrt{2}$）²+y²=16，點Q在圓B上，線段AQ的垂直平分線角BQ于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）軌跡C上是否存在直線2x+y+1=0對稱的兩點，若存在，設(shè)這兩個點分別為S，T，求直線ST的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由題意可得|PA|+|PB||=4＞|AB|=2$\sqrt{2}$，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，則點P的軌跡方程可求；
（2）設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由題意可設(shè)直線ST的方程為y=$\frac{1}{2}$x+m，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用線段ST的中點（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m）在對稱軸2x+y+1=0上，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知|PQ|=|PA|，
∴|PA|+|PB||=4＞|AB|=2$\sqrt{2}$
由橢圓定義知P點的軌跡是以A，B為焦點橢圓，a=2，c=$\sqrt{2}$
∴b=$\sqrt{2}$，
∴點P的軌跡的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)存在直線ST的方程為y=$\frac{1}{2}$x+m，與橢圓方程聯(lián)立，化簡可得3x²+4mx+4m²-8=0．
S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-2）}{3}$，
∵線段ST的中點（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m）在對稱軸2x+y+1=0上，
∴-$\frac{4}{3}$m+$\frac{2}{3}$m+1=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，滿足△＞0，
∴存在直線ST的方程為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

點評 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．