Question

已知雙曲線C：和圓O：x²+y²=b²（其中原點(diǎn)O為圓心），過雙曲線C上一點(diǎn)P（x，y）引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；
（2）求直線AB的方程；
（3）求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a＞b＞0，知．由∠APB=90°及圓的性質(zhì)，知四邊形PAOB是正方形，所以．由此能求出雙曲線離心率e的取值范圍．
（2）方法1：因?yàn)镻A²=OP²-OA²=x²+y²-b²，所以以點(diǎn)P為圓心，|PA|為半徑的圓P的方程為（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．聯(lián)立方程組，得直線AB的方程．
方法2：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知點(diǎn)P（x，y），則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．因?yàn)镻A⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．因?yàn)镺A=OB，PA=PB，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，AB⊥OP．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182220453871743/SYS201310241822204538717020_DA/7.png">，所以．由此能求出直線AB的方程．
方法3：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知點(diǎn)P（x，y），則k_PA=，．因?yàn)镻A⊥OA，所以．由此能求出直線AB的方程．
（3）由直線AB的方程為xx+yy=b²，知點(diǎn)O到直線AB的距離為．由，知△OAB的面積．以下給出求三角形OAB的面積S的三種方法：
方法1：因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，所以．設(shè)，所以．再由導(dǎo)數(shù)能夠求出．
方法2：設(shè)，則．因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，所以．令，再由導(dǎo)數(shù)能夠求出．
方法3：設(shè)t=x²+y²，則．因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，所以．令，所以g（u）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．由此能夠求出．
解答：解：（1）因?yàn)閍＞b＞0，所以，所以．（1分）
由∠APB=90°及圓的性質(zhì)，可知四邊形PAOB是正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182220453871743/SYS201310241822204538717020_DA/37.png">，所以，所以．（3分）
故雙曲線離心率e的取值范圍為．（4分）
（2）方法1：因?yàn)镻A²=OP²-OA²=x²+y²-b²，
所以以點(diǎn)P為圓心，|PA|為半徑的圓P的方程為（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．（5分）
因?yàn)閳AO與圓P兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB，（6分）
所以聯(lián)立方程組（7分）
消去x²，y²，即得直線AB的方程為xx+yy=b²．（8分）
方法2：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知點(diǎn)P（x，y），
則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因?yàn)镻A⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．（5分）
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因?yàn)閤₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
因?yàn)镺A=OB，PA=PB，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，AB⊥OP．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182220453871743/SYS201310241822204538717020_DA/46.png">，所以．（7分）
所以直線AB方程為．
即xx+yy=xx₁+yy₁．
所以直線AB的方程為xx+yy=b²．（8分）
方法3：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知點(diǎn)P（x，y），
則k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因?yàn)镻A⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因?yàn)閤₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
這說明點(diǎn)A在直線xx+yy=b²上．（7分）
同理點(diǎn)B也在直線xx+yy=b²上．
所以xx+yy=b²就是直線AB的方程．（8分）
（3）由（2）知，直線AB的方程為xx+yy=b²，
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182220453871743/SYS201310241822204538717020_DA/53.png">，
所以三角形OAB的面積．（10分）
以下給出求三角形OAB的面積S的三種方法：
方法1：因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，
所以，即（x²≥a²）．
設(shè)，
所以．（11分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182220453871743/SYS201310241822204538717020_DA/60.png">，
所以當(dāng)0＜t＜b時(shí)，S'＞0，當(dāng)t＞b時(shí)，S'＜0．
所以在（0，b）上單調(diào)遞增，在（b，+∞）上單調(diào)遞減．（12分）
當(dāng)，即時(shí)，，（13分）
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（14分）
方法2：設(shè)，則．（11分）
因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，則．
所以當(dāng)0＜t＜b時(shí)，g'（t）＜0，當(dāng)t＞b時(shí)，g'（t）＞0．
所以在（0，b）上單調(diào)遞減，在（b，+∞）上單調(diào)遞增．（12分）
當(dāng)，即時(shí)，，（13分）
當(dāng)，即時(shí)，．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（14分）
方法3：設(shè)t=x²+y²，則．（11分）
因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，
所以g（u）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（12分）
因?yàn)閠≥a，所以，
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．
（13分）
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的合理的運(yùn)用，結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．